Wang Haihua
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移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数，以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。
当预测目标的基本趋势是在某一水平上下波动时，可用一次简单移动平均方法 (Simple Moving Average Method) 建立预测模型。设观测序列为$y_{1}, \cdots, y_{T}$,取移动平均的项数 $N < T$,
$$ \hat{y}_{t+1}=\frac{1}{N}\left({y}_{t}+\cdots+{y}_{t-N+1}\right), t=N, N+1, \cdots, $$即：最近$N$期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。
一般$N$取值范围：$5 \leq N \leq 200$。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，$N$ 的取值应较大一些。否则$N$的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择最佳$N$值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误差。预测标准误差最小者为好。
例如
某企业1-11月份的销售收入时间序列如下表所示。试用一次简单移动平均预测其12月份的销售收入。
| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 销售收入 | 533.8 | 574.6 | 606.9 | 649.8 | 705.1 | 772.0 |
| 月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | |
| 销售收入 | 816.4 | 892.7 | 963.9 | 1015.1 | 1102.7 |
解 ：分别取$N=4,N=5$的预测公式
$$ \begin{aligned} &\hat{y}_{t+1}^{(1)}=\frac{y_{t}+y_{t-1}+y_{t-2}+y_{t-3}}{4}, \quad t=4,5, \cdots, 11\\ &\hat{y}_{t+1}^{(1)}=\frac{y_{t}+y_{t-1}+y_{t-2}+y_{t-3}+y_{t-4}}{5}, \quad t=5, \cdots, 11 \end{aligned} $$当$N=4$时，预测值$\hat{y}_{12}^{(1)}=993.6$预测的标准误差为
$$ S_{1}=\sqrt{\frac{\sum_{i=5}^{11}\left(\hat{y}_{t}^{(1)}-y_{t}\right)^{2}}{11-4}}=150.5 $$当$N=5$时，预测值$\hat{y}_{12}^{(1)}=958.2$预测的标准误差为
$$ S_{2}=\sqrt{\frac{\sum_{t=6}^{11}\left(\hat{y}_{t}^{(1)}-y_{t}\right)^{2}}{11-5}}=182.4 $$计算结果表明，$N = 4$时，预测的标准误差较小，所以选取$N = 4$。预测第 12 月份的销售收入为993.6。
简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。
在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就是加权移动平均法(Weighted Moving Average Method)的基本思想。
设观测序列为$y_{1}, \cdots, y_{T}$,加权移动平均值计算公式为：
$$ \hat{y}_{t+1}=\frac{w_{1} y_{t}+w_{2} y_{t-1}+\cdots+w_{N} y_{t-N+1}}{w_{1}+w_{2}+\cdots+w_{N}}, t \geq N $$式中，$\hat{y}_{t+1}$为$t+1$期的预测值；$w_i$为$y_{t-i+1}$的权数，它体现了相应的$y_t$在加权平均数中的重要性。
在加权移动平均法中， $w_t$的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预测者对序列的了解和分析来确定。
下面讨论如何利用移动平均的滞后偏差建立直线趋势预测模型。设时间序列$\left\{y_{t}\right\}$从某时期开始具有直线趋势，且认为未来时期也按此直线趋势变化，则可设此直线趋势预测模型为
$$ \hat{y}_{t+T}=a_{t}+b_{t} T, \quad T=1,2, \cdots \tag{1} $$其中 $t$ 为当前时期数；$T$ 为由$t$至预测期的时期数； $a_t$ 为截距； $b_t$ 为斜率。两者又称为平滑系数。
现在，我们根据移动平均值来确定平滑系数。由模型(1)可知
$$ \begin{aligned} &a_{t}=y_{t}\\ &y_{t-1}=y_{t}-b_{t}\\ &y_{t-2}=y_{t}-2 b_{t}\\ &y_{t-N+1}=y_{t}-(N-1) b_{t} \end{aligned} $$所以
$$ \begin{aligned} M_{t}^{(1)} &=\frac{y_{t}+y_{t-1}+\cdots+y_{t-N+1}}{N}=\frac{y_{t}+\left(y_{t}-b_{t}\right)+\cdots+\left[y_{t}-(N-1) b_{t}\right]}{N} \\ &=\frac{N y_{t}-[1+2+\cdots+(N-1)] b_{t}}{N}=y_{t}-\frac{N-1}{2} b_{t} \end{aligned} $$因此
$$ y_{t}-M_{t}^{(1)}=\frac{N-1}{2} b_{t} \tag{2} $$类似以上的推导，我们还可以得到
$$ y_{t-1}-M_{t-1}^{(1)}=\frac{N-1}{2} b_{t} $$所以
$$ y_{t}-y_{t-1}=M_{t}^{(1)}-M_{t-1}^{(1)}=b_{t} $$类似式（2）的推导，可得
$$ M_{t}^{(1)}-M_{t}^{(2)}=\frac{N-1}{2} b_{t} \tag{3} $$于是，由式（2）和式（3）可得平滑系数的计算公式为
$$ \left\{\begin{array}{l} {a_{t}=2 M_{t}^{(1)}-M_{t}^{(2)}} \\ {b_{t}=\dfrac{2}{N-1}\left(M_{t}^{(1)}-M_{t}^{(2)}\right)} \end{array}\right. $$趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。
参考文献